以:靠，通过，经由。

君何以知燕王，可以翻译为:您通过什么了解（或者解释为“知道”）燕王的呢？

何以，是倒装结构，正常语序是“以何”。这句话应该出自《史记·廉颇蔺相如列传》，蔺相如劝赵国的宦者令，让他向赵王承认错误，而不要逃到燕国去，毕竟你跟燕王没有什么交情，靠什么知道他能帮你呢。