隔板法的三种题型公式

理解隔板法#

隔板法就是在 n 个元素间的 n−1 个空插入 k−1 个板子，把 n 个元素分成 k 组的方法。方案数为 Ck−1n−1。

应用隔板法必须满足的 3 个条件：

n 个元素是相同的

k 个组是互异的

每组至少分得一个元素

例如，把 10 个相同的球放入 3 个不同的箱子，每个箱子至少一个，有 C29 种情况。

隔板法应用#

普通隔板法#

例 1. 求方程 x+y+z=10 的正整数解的个数。

分析：将 10 个求排成一排，球与球之间形成 9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x、y、z 的值，则隔板法与解的个数之间建立了一一对应关系，故解的个数为 Cm−1n−1=C29=36。

增减元素隔板法#

例 2. 求方程 x+y+z=10 的非负整数解的个数。

分析：注意到 x、y、z 可以为零，故例 1 解法中的限定「每空至多插一块隔板」就不成立了，怎么办呢？只要预先给 x、y、z 各添加一个球，这样原问题就转化为求 (x+1)+(y+1)+(z+1)=13 的解的个数了，则问题就等价于把 13 个相同小球放入 3 个不同箱子，每个箱子至少一个，方案数为 Cm−1n+m−1=C212=66。

例 3. 把 10 个相同的小球放到 3 个不同的箱子，第一个箱子至少 1 个，第二个箱子至少 3 个，第 3 个箱子可以为空，有几种情况？

我们可以在第二个箱子先放入 10 个小球中的 2 个，小球剩 8 个放 3 个箱子，然后在第三个箱子放入 8 个小球之外的 1 个小球（即补充了一个球），则问题转化为把 9 个相同小球放 3 不同箱子，每箱至少 1 个，几种方法？C28=28。

也可转化为例 2 的形式，即求方程 x+y+z=10 (x≥1,y≥3,z≥0) 的整数解的个数。构造新变量 a=y−2,b=z+1，现在 x,a,b 都 ≥1 了，因此可以运用隔板法。原方程化为 x+a+b=10−2+1=9，隔板法求得方案数 C2−19−1=C28=28。

例 4. 将 20 个相同的小球放入编号分别为 1，2，3，4 的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

分析：先在编号 1,2,3,4 的四个盒子内分别放 0,1,2,3 个球，剩下 14 个球，再把剩下的球分成 4 组，每组至少 1 个，由例 1 知方法有 C313=286（种）。

添板插板法（添加盒子法）#

例 5. 有一类自然数，从左往右的第三个数字开始，每个数字都恰好是它左边两个数字之和，直至不能再写为止，如 1459，58，21369 等。这类数共有几个？

分析：因为前 2 位唯一确定了整个序列，只要求出前两位的所有情况即可，设前两位为 a 和 b

显然 a+b≤9，且 a 不为 0，但 b 可以为 0（例如 202246）。这里恼人的地方在于这个不等号，a+b 的总数是不确定的。怎么办？

这里可以构造第三个盒子 c 来放剩下的球，即 a+b+c=9 (a≥1,b≥0,c≥0)。老套路，转化为 a+(b+1)+(c+1)=11，使得⎧⎩⎨a≥1(b+1)≥1(c+1)≥1

题目等价于，11 个球放入 3 个不同的箱子，每个箱子至少放一个，C210。

选板法#

例 6. 有 10 粒糖，如果每天至少吃一粒（多不限），吃完为止，求有多少种不同吃法？

分析：o_o_o_o_o_o_o_o_o_o（o 代表 10 个糖，_ 代表 9 个空）

所以 10 块糖，9 个空，插入 9 块隔板，每个板都可以选择放或不放，相邻两板间的糖一天吃掉，这样共有 29=512 啦。

分类插板法#

例 7. 小梅有 15 块糖，如果每天至少吃 3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

分析：

此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论。显然最多吃 5 天，最少吃 1 天。

吃 1 天或是 5 天，各一种吃法,一共 2 种情况

吃 2 天，每天预先吃 2 块，即问 11 块糖，每天至少吃 1 块，吃 2 天，几种情况？ C110=10

吃 3 天，每天预先吃 2 块，即问 9 块糖，每天至少 1 块，吃 3 天？C28=28

吃 4 天，每天预先吃 2 块，即问 7 块糖，每天至少 1 块，吃 4 天？C36=20

所以一共是 2+10+28+20=60 种。

*逐步插板法#

实际上是逐步插空法，属于插空而不是插板法。

例 8. 在一张节目单中原有 6 个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加 3 个节目，共有几种情况？

分析：可以用一个节目去插 7 个空位，再用第二个节目去插 8 个空位，用最后个节目去插 9 个空位，所以一共是 C17C18C19=504 种。

综合例题#

有 n 个不同的盒子，在每个盒子中放一些球（可以不放），使得总球数不大于 m，求方案数。

分析：总球数 ≤m，所以我们可以增加一个盒子放 m 个球中没被选中的球。所以题目等价于 m 个球放入 n+1 个盒子中，盒子有里球数可以为 0，添元素插板法，每一个盒子都增加一个球，即 m+n+1 个球放入 n+1 个盒子，Cnm+n 为答案。