聚点定理证明柯西收敛准则

证明：令{An}为收敛数列，则其必有极限，令{An}极限为M，故存在正整数N；

若{An}中至多含有有限个不同的点则从某项起{An}含有无限多个相同的点即{An}为常数列，否则{An}不满足柯西条件；

若{An}中含有无限多个各不相同的点则根据聚点定理{An}至少含有一个聚点，假设{An}含有两个聚点d1 d2且d1<d2，令e=d2-d1，所以在U(d1；e/3)U(d2；e/3)内都含有{An}中的无限多个点，这与存在N，当m n>N 时｜An-Am｜<H矛盾，故{An}只含有一个聚点；

令其为d1,所以当n m>N，｜An-Am｜<H/2（H为大于0的任意正数）时存在Ah属于U（d1；e/3）且｜Ah-d1｜<H/2，所以｜An-d1｜<｜An-Ah｜+｜Ah-d1｜<H/2+H/2=H，故{An}收敛于d1。