Z变换的定义是什么

Z变换是离散时间信号的分析工具，它将复杂的离散时间信号分解成复杂频谱序列。

它的定义如下：如果序列x[n]是一个离散时间信号，那么将x[n]乘以z^(-n) (z的负n次方)形成的级数就是Z变换：X(z)=∑(n=-∞)^(∞) x[n]z^(-n)。

Z变换把序列从时间域变换到Z域，Z域是复平面上的一个区域。

这种变换被广泛应用于数字信号处理、控制工程、通信工程以及相关领域中的系统分析和设计。

Z变换是一种数学工具，用于将离散时间信号转换为连续时间信号。它是由美国工程师John W. ABC和Charles R. Johnson在1938年提出的。

Z变换的定义如下：设一个离散时间信号$x[n]$可以表示为一组复数序列$X[k]$的线性组合，即：

$$

x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} X[k] z^{-n+k}

$$

其中，$z$是一个复变量，满足$z^{-1}=z$,$z^0=1$,并且$z$的实部和虚部都是有限或无限接近于零的。

这个式子的意义是，对于任意一个非负整数$n$,我们可以将$x[n]$分解成若干个频率不同的正弦波的叠加，每个正弦波的频率为$\frac{1}{T}$,其中$T$是信号的采样周期。而这些正弦波的振幅可以通过对$X[k]$进行傅里叶变换得到。

因此，Z变换可以用来描述离散时间信号的频域特性，例如频率、相位等信息。

Z变换的基本思想众所周知来自拉普拉斯。在1947年由W. Hurewicz重新引入作为一个易操纵的方式来解决线性常系数差分方程。

它后来于1952年在哥伦比亚大学被Ragazzini和Zadeh冠以“the z-transform“用于采样。

双边Z变换离散时间序列x[n]的Z变换定义为：式中，σ为实变数，ω为实变量，所以Z是一个幅度为，相位为ω的复变量。x[n]和X(Z)构成一个Z变换对[1-2] 。