拉普拉斯方程全部公式

拉普拉斯方程表示为：

∇²ϕ = 0

其中，∇²是拉普拉斯算子，ϕ是描述电势、流体动力学、热传导等物理量的标量场函数。具体地，拉普拉斯算子可以表示为：

∇²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²

这里是三维坐标系中的拉普拉斯算子，f是描述物理量的标量函数，x、y和z是三个坐标轴。

在柱坐标系和球坐标系中，拉普拉斯算子的表达式有所不同。在柱坐标系中，拉普拉斯算子表示为：

∇²f = (1/ρ) ∂/∂ρ (ρ ∂f/∂ρ) + (1/ρ²) ∂²f/∂φ² + ∂²f/∂z²

这里f是柱坐标系中的标量函数，ρ、φ和z是三个坐标轴。

在球坐标系中，拉普拉斯算子表示为：

∇²f = (1/r²) ∂/∂r (r² ∂f/∂r) + (1/r²sinθ) ∂/∂θ (sinθ ∂f/∂θ) + (1/r²sin²θ) ∂²f/∂φ²

这里f是球坐标系中的标量函数，r、θ和φ是三个坐标轴。

拉普拉斯方程和拉普拉斯算子在数学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。