一、二项式定理和二项式系数的性质

1、二项式定理

对于任意正整数n，都有

(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbn。这个式子叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做

(a+b)n的二项展开式，其中各项的系数

Cnk(k∈0,1,2,⋯,n)叫做二项式系数。

2、二项展开式的通项

二项展开式的第k+1项

Tk+1=Cnkan−kbk(k∈0,1,2,⋯,n)叫做二项展开式的通项。

注：（1）通项是二项展开式的第k+1项，而不是第k项。

（2）字母b的指数和组合数的上标相同，与a与b的指数之和为n。

（3）展开式中第k+1项的二项式系数

Cnk与第k+1项的系数不一定相等，只有在特殊情况下，它们的值才相等。

（4）求常数项、有理项和系数最大的项时，一般要根据通项公式对k进行讨论。

3、二项式系数的性质

（1）对称性

与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

Cnm=Cnn−m(n=0,1,2,⋯,n)。

（2）增减性与最大值

增减性：当

k<n+12时，

Cnk是逐渐增大的；当

k>n+12时，

Cnk是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

最大值：当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为

Cnn2；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大，最大值为

Cnn−12，

Cnn+12。

4、二项式系数和

(a+b)n的展开式中，各个二项式系数和等于

2n，即

Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n。

二项展开式中，各偶数项的二项式系数和等于各奇数项的二项式系数和，即有

Cn1+Cn3+Cn5+⋯=Cn0+Cn2+Cn4+⋯=2n−1。

二、二项式定理的相关例题

(x2−3x)6的展开式中的常数项为___

A．603

B．63

C．135

D．45

答案：C

解析：

(x2−3x)6的展开式中的常数项为

C64(−3)4=135，故选C。