截长补短法的用法例题

1、截长:过某一点作长边的垂线；在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

2、补短:延长短边；通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

3、截长补短法：初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边

一、截长补短法：

题目中出现线段之间的和差倍分时，考虑截长补短；

截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段的等量关系。

二、典型例题：

例题1、如图，在 △ABC 中，∠1 = ∠2 ， ∠B = 2∠C ，求证： AC = AB + BD

图1

证明：（截长法）如图，在线段 AC 上截取 AE = AB ，连接 DE

图2

∵ AB = AE , ∠1 = ∠2 ， AD = AD

∴ △ABD ≌ △AED

∴ BD = ED , ∠B = ∠AED , AB = AE

∵ ∠B = 2∠C ∴ ∠AED = 2∠C = ∠EDC + ∠C

∴ ∠EDC = ∠C ∴ ED = EC （等角对等边）

∵ AC = AE + EC

∴ AC = AB + BD （等量代换）

例题2、如图，在正方形 ABCD 中，E , F 分别为 DC ，BC 边上的点，且 ∠EAF = 45° ，连接 EF 。

求证： EF = BF + DE 。

图3

证明：（补短法）如图，将 DE 补在 FB 的延长线上，使 BG = DE , 连接 AG

图4

∵ 在正方形 ABCD 中 有 AD = AB , ∠D = ∠ABG = 90° ， DE = BG

∴ △ADE ≌ △ABG ∴ ∠1 = ∠2 ， AE = AG

∵ ∠EAF = 45° ∠1 + ∠3 + ∠EAF = ∠DAB = 90°

∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = ∠GAF = 45° = ∠EAF

∵ AE = AG , ∠EAF = ∠GAF ， AF = AF

∴ △EAF ≌ △GAF ∴ EF = GF

∵ GF = BF + BG = BF + DE

∴ EF = BF + DE

例题3、如图，在 △ABC 中， ∠A = 90° ， AB = AC ，BD 平分 ∠ABC ，CE⊥BD 交 BD 的延长线于点 E 。

求证 ： CE = 1/2 BD 。

图5

证明：如图，延长 CE 交 BA 的延长线于点 F

图6

∵ CE⊥BE ∴ ∠BEC = ∠BEF = 90°

∵ BD 平分 ∠ABC ∴ ∠1 = ∠2

∴ △BEC ≌ △BEF ∴ EC = EF

∵ ∠1 + ∠ADB = ∠3 + ∠EDC ， ∠ADB = ∠EDC （对顶角相等）

∴ ∠1 = ∠3

∵ AB = AC , ∠BAD = ∠CAF = 90° ， ∠1 = ∠3

∴ △ABD ≌ △ACF ∴ BD = CF = 2 CE

即 CE = 1/2 BD。