泊松分布是一种统计与概率学里比较重要的离散概率分布，接下来严格推导泊松分布的数学期望，首先它的概率函数表达式为：

数学期望推导如下：

方差推导如下：

扩展：对于随机变量而言，绝大多数要么是连续型随机变量要么是离散型随机变量，因而，需要明确连续型和离散型随机变量数学期望和方差的一般公式，具体如下所示：。