两个词都属于客套话，也都是向对方传递祝福的意思。

区别在于恭禧的意思是恭祝别人新年快乐，多用于新年见面时。

而恭喜则多用于祝贺人家的喜事，如新婚，升职等。

禧在汉语中的含义就有年的意思。

比如说，祝你们新婚快乐，白头到老，生活比蜜甜。恭喜恭喜。