韩信巧点兵解题方法

韩信点兵的数学解法

我国汉代有一位大将，名叫韩信。他每次集合部队，都要求部下报三次数，第一次按1～3报数，第二次按1～5报数，第三次按1～7报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样韩信就知道一共到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为“鬼谷算”、 “隔墙算”、“秦王暗点兵”等。

这种问题在《孙子算经》中也有记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何?” 它的意思就是，有一些物品，如果3个3个的数，最后剩2个；如果5个5个的数，最后剩3个；如果7个7个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？人们通常把这个问题叫作“孙子问题”， 西方数学家把它称为“中国剩余定理”。现在，这个问题已成为世界数学史上著名的问题。

到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；

七子团圆正半月，除百零五便得知。

用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70；用5除，除得的余数乘21；用7除，除得的余数乘15。最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，就知道这个数是多少。

《孙子算经》中这个问题的算法是：

70×2＋21×3＋15×2＝233

233－105－105＝23

所以这些物品最少有23个。

根据上面的算法，韩信点兵时，必须先知道部队的大约人数，否则他也是无法准确算出人数的。你知道这是怎么回事吗？

这是因为，

被5、7整除，而被3除余1的最小正整数是70；

被3、7整除，而被5除余1的最小正整数是21；

被3、5整除，而被7除余1的最小正整数是15。

所以，这三个数的和是15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性质。

以上解法的道理在于：

被3、5整除，而被7除余1的最小正整数是15；

被3、7整除，而被5除余1的最小正整数是21；

被5、7整除，而被3除余1的最小正整数是70。

因此，被3、5整除，而被7除余2的最小正整数是 15×2＝30；

被3、7整除，而被5除余3的最小正整数是 21×3＝63；

被5、7整除，而被3除余2的最小正整数是 70×2＝140。

于是和数15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性质。但所得结果233（30＋63＋140＝233）不一定是满足上述性质的最小正整数，故从它中减去3、5、7的最小公倍数105的若干倍，直至差小于105为止，即 233－105－105＝23。所以23就是被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整数。