摆线参数方程求体积公式

摆线是指一条绳子一端固定，另一端围绕一个固定点按一定规律运动而形成的曲线。摆线的参数方程一般可以表示为：

x = a(t - sin(t))

y = a(1 - cos(t))

其中，a是摆线的振幅，t是时间参数。

要求摆线所围成的封闭曲线的体积，可以利用旋转体的体积公式进行计算。摆线本身可以看作是y轴上的一条曲线，如果将其绕y轴旋转一周，即可形成一个旋转体。

设旋转体的体积为V，半径为r。根据旋转体的体积公式，有：

V = ∫[a, b] πr^2 dx

在此处，x的取值范围为[a, b]，a和b是摆线在x轴上的截距。

r是和y值有关的变量，可以通过y的表达式来表示：

r = y = a(1 - cos(t))

将r代入体积公式，有：

V = ∫[a, b] π(a(1 - cos(t)))^2 dx

= ∫[a, b] πa^2(1 - cos(t))^2 dx

将参数方程中的x表达式代入，有：

V = ∫[a, b] πa^2(1 - cos(t))^2 (t - sin(t))' dt

= ∫[a, b] πa^2(1 - cos(t))^2 (1 - cos(t))' dt

= ∫[a, b] πa^2(1 - cos(t))^3 dt

即，摆线所围成的封闭曲线的体积公式为 V = ∫[a, b] πa^2(1 - cos(t))^3 dt。