积分变换是微积分中重要的分析工具之一，能够将一个函数或方程在积分和微分意义下进行转化。以下是常用的积分变换公式：

1. 拉普拉斯变换

f(t) <==> F(s)，其中 F(s) = L[f(t)] = ∫[0,+∞) e^(-st)f(t)dt，s 为复数。

常用性质有：

- 线性性质：L[a*f(t) + b*g(t)] = a*F(s) + b*G(s)

- 移位性质：L[e^(at)f(t)] = F(s-a)

- 初值定理：lim_(s→+∞) sF(s) = lim_(t→0+) f(t)

- 终值定理：lim_(s→0) sF(s) = lim_(t→+∞) f(t)

2. 傅里叶变换

f(t) <==> F(ω)，其中 F(ω) = FT[f(t)] = ∫[-∞,+∞] e^(-jωt)f(t)dt，ω 为角频率。

常用性质有：

- 线性性质：FT[a*f(t) + b*g(t)] = a*F(ω) + b*G(ω)

- 移位性质：FT[f(t-a)] = e^(-jωa)F(ω)

- 卷积性质：FT[f(t)*g(t)] = F(ω) * G(ω)

- 相似性质：FT[f(at)] = (1/|a|)F(ω/a)

3. Z 变换

f(nT) <==> F(z)，其中 F(z) = Z[f(nT)] = ∑[n=0,∞]z^(-n)f(nT)，z 为复数。

常用性质有：

- 线性性质：Z[a*f(nT) + b*g(nT)] = a*F(z) + b*G(z)

- 移位性质：Z[z^(-n)f(nT)] = F(z*T)

- 差分性质：Z[f(nT) - f((n-1)T)] = (1-z^(-1))F(z)

- 初值定理：lim_(z→∞)F(z) = lim_(n→∞)f(nT)