什么是有界数列 怎么证明

有界数列是指序列中的所有项都被上下界所限制，即存在一个上界和一个下界，使得序列中的每一项都不超过上界且不小于下界。

要证明一个数列是有界的，可以通过使用上确界和下确界的定义来进行证明。具体地，通过分别找到数列中的上确界和下确界，若两者存在，则可以证明该数列是有界的。上确界是所有上界中的最小上界，下确界是所有下界中的最大下界。证明可以通过数学严谨的推理来进行。

有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。

1、有界数列的定义：

若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M 其中M是与n无关的常数 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界，对一切n 有Xn≥m 其中m是与n无关的常数 称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界，一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。

2、有界数列的证明：

∵ 数列{Xn}是收敛的

∴ 设其极限为a

根据数列极限的定义，对于ε=1，存在正整数N

当n>N是不等式|Xn-a|N时，|Xn|=|(Xn-a)+a|

证毕。

3、有界数列示例：

（1）1，2，3，4

（2）{1/n}，n=1，2，3...

扩展资料：

1、有界数列的应用:

数列有极限的必要条件：

数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界=>数列有极限。

2、函数的有界性：

函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

3、函数有界性的要点：

（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

（2）从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。