报童模型的推导过程

报童模型，指的是一种数学模型，用于解决实际问题。

基本内容

报童出售报纸，零售价a>购进价b>退回价c。因此，每售出一份报纸，赚a-b，每退回一份报纸赔b-c。那么，报童每天要购进多少份报纸才能使收入最大？

分析

如果购进太多，就会卖不完，从而赔钱；如果购进过少，导致报纸不够销售，就会减少收入。因此，存在一个最优的购进量，使得收入最大。因此，应当根据需求来确定购进量。然而，每天的需求是随机的，进而每天的收入也是随机的。因此，优化问题的目标函数应是长期日平均收入，等于每天收入的期望。

准备

调查随机量的需求规律——每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…

建模

设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)。已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c。若r<=n，则售出r，返回n-r => 赚(a-b)r，赔(b-c)(n-r)。若r>n，则售出n，赚(a-b)n。目标函数求n使G(n)最大。

求解视r为连续变量f(r)=>p(r)（概率密度）

结果

解释取n，使其中，a-b即售出一份报纸赚的钱，b-c即退回一份报纸赔的钱。