三倍角公式推导及证明

三倍角公式是指：

$$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3\theta$$ $$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$

我们可以通过倍角公式和其他三角函数公式来推导和证明这些公式。以下是其中一个可能的方法：

首先，我们使用倍角公式将 $2\theta$ 表示为 $\theta$ 的函数：

$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ $$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$$

接着，我们将 $\sin 3\theta$ 和 $\cos 3\theta$ 表示为 $\sin\theta$ 和 $\cos\theta$ 的函数。我们用 $\sin 2\theta$ 和 $\cos 2\theta$ 来做到这一点：

$$\begin{aligned} \sin 3\theta &= \sin(2\theta+\theta) \ &= \sin 2\theta \cos\theta + \cos 2\theta \sin\theta \ &= (2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta + (2\cos^2\theta - 1)\sin\theta \ &= 2\sin\theta\cos^2\theta + 2\cos^2\theta\sin\theta - \sin\theta \ &= 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \cos 3\theta &= \cos(2\theta+\theta) \ &= \cos 2\theta \cos\theta - \sin 2\theta \sin\theta \ &= (2\cos^2\theta-1)\cos\theta - (2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta \ &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \end{aligned}$$

这样就推导出了三倍角公式。

结论：三倍角公式为 sin 3θ = 3sinθ - 4sin^3θ。

解释原因：可以通过将角度展开并利用三角函数的和差公式来推导和证明三倍角公式。

内容延伸：三倍角公式在三角函数中有着广泛的应用，特别是在解题中和三角函数的简化中。

同时，三倍角公式还可以拓展到其他三角函数中，如cos 3θ和tan 3θ等，为学习和应用三角函数提供了更多的可能性。

正切三倍角公式

其推导过程如下

tan3a=tan(2a+a)

=(tan2a+tana)/(1-tan2atana)

=[2tana/(1-tan2a)+tana]/[1-2tan2a/(1-tan2a)]

=(3tana-tan3a)/(1-3tan2a)

就记住分子是3倍减去三次方

分母是1减去平方的3倍。