求通项公式的7种方法 带例题

以下是一些常见的计算通项公式的方法：

1. 形式递推法：观察数列中相邻项之间的关系，寻找规律并建立递推关系式。

例题：数列1, 2, 4, 8, ... 的通项公式是什么？

解答：通过观察可以发现，每一项都是前一项乘以2。因此，递推关系式为 a(n) = 2 * a(n-1其中a(1)=1。可以得到通项公式 a(n) = 2^(n-1)。

2. 集合的项表示为集合，通过对集合的运算获得数列性质。

例题：数列3, 6, 12, 是什么？

解答：观察这个数列可以发现，每一项都是前一项乘以2。可以将数列表示为集合 {3, 6, 12, 24, ...}，根据集合的性质可以得到通项公式 a(n) = 3 * 2^(n-1)。

3. 特殊值法：考虑数列中的特殊值，如第一项、最后一项等，从而得到数列的通项公式。

例题：数列1, 4, 9, 16, ... 的通项公式是什么？

解答：观察这个数列可以发现，每一项都是其索引的平方。因此，通项公式可以表示为 a(n) = n^2。

4. 等差数列和差法：将数列表示为等差数列的和与差的形式，通过计等差数列的和与差来推导通项公式。

例题：数列2, 5, 8, 11, ... 的通项公式是什么？

解答：将这个数列表示为等差数列的和与差的形式，可以得到 an-1)，其中a(1)=2。

5. 线性递推法：通过构建线性递推关系式，利用矩阵幂求解通项公式��

6. 公式法：使用已知的数学公式来计算数列的通项公式。

例题：数列1, 3, 6, 10, ... 的通项公式是什么?

解答：观察这个数列可以发现，每一项都是前一项加上一个连续递增的正整数。根据求和公式，可以推导出通项公式为 a(n) = n*(n+1)/2，其中a(1)=1。

7. 生成函数法：利用生成函数的技术来计算数列的通些方法可以用于不同类型的数列，并且有时候需要结合多种方法来推导通项公式。

七种方法是:前n项和法、公式法、ns与na的关系式法、累加法、累乘法、构造法、取对数法。数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数

以下是7种求通项公式的方法，每种方法都附带一个示例题：

1.差分法

示例题：已知数列1，2，4，7，11，16......，求其通项公式。

解法：先求一阶差分数列，得到1，2，3，4，5......继续求一阶差分数列，得到1，1，1，1......显然，这是一个等差数列，首项为1，公差为1。因此，原数列的通项公式为：an = (n+2)(n-1)/2。

2.递推法

示例题：已知数列1，1，2，3，5，8......，求其通项公式。

解法：根据定义，斐波那契数列的递推式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1=1，F2=1。将其改写成通项公式形式得：an = (1/sqrt(5))*[((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n]。因此，原数列的通项公式为：an = (1/sqrt(5))*[((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n]。

3.求和法

示例题：已知数列1，3，6，10，15，......，求其通项公式。

解法：根据公式，等差数列的和为Sn = (a1+an)*n/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。对原数列求一阶差分数列，得到2，3，4，5，......，这是一个等差数列，首项为2，公差为1。根据公式，其和为S20 = (2+21)*20/2 = 230，因此，原数列的通项公式为：an = n*(n-1)/2 + 1。

4.猜解法

示例题：已知数列1，2，4，7，11，......，求其通项公式。

解法：观察数列，发现每一项都是它前面的项加上常数，这是斐波那契数列的变形，猜测其通项公式为an = n*(n-1)/2 + 1。验证得到：a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，......，符合数列要求。

5.配方法

示例题：已知数列1，4，9，16，25，......，求其通项公式。

解法：观察数列，发现每一项都是它的下标的平方，因此猜测其通项公式为an = n^2。得到：a1=1，a2=4，a3=9，a4=16，a5=25，......，符合数列要求。

6.倍增法

示例题：已知数列1，2，4，8，16，......，求其通项公式。

解法：根据公式，等比数列的通项公式为an = a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。由于a1=1，可以先求出a8，然后利用它求出a16，以此类推。得到：a8=256，a16=65536，......，因此，通项公式为an = 2^(n-1)。

7.解方程法

示例题：已知数列1，3，6，10，15，......，求其通项公式。

解法：根据公式，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)*d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。将前五项带入公式，得到两个方程：a1+d = 3，a1+2*d = 6。解得a1=1，d=2。因此，通项公式为an = 1 + (n-1)*2。