平方和公式推导的几种方法

没有平方和公式，只要平方差公式与完全平方和公式。平方差公式是:( a+b)( a-b)= a平方-b平方。

完全平方和公式:( a+b)平方= a平方+2ab+b平方。它们的推导方法通常是运用多项式相乘法则进行。也可以利用面积进行推导。

第一，数学归纳法

证明：

当n=1时，左式=1²=1

右式=1*(1+1)(2*1+1)/6=1*2*3/6=1

所以，当n=1时，等式成立。

假设当n=k时，等式也成立，那么：

1²+2²+……+k²=k(k+1)(2k+1)/6

则，当n=k+1时，左式

=1²+2²+……+k²+(k+1)²

=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²

=(k+1)*[(2k²+k)/6+(k+1)]

=(k+1)*(2k²+k+6k+6)/6

=[(k+1)/6]*(2k²+7k+6)

=[(k+1)/6]*(2k+3)(k+2)

=[(k+1)*(k+2)*(2k+3)]/6

={(k+1)*[(k+1)+1]*[2(k+1)+1]}/6

所以，当n=k+1时，等式也成立

综上： 1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6

第二，立方差公式作差累加法

证明：n³-(n-1)³=1×[n²+n(n-1)+(n-1)²]=3n²-3n+1

1³-0³=3×1²-3×1+1

2³-1³=3×2²-3×2+1

3³-2³=3×3²-3×3+1

……

n³-(n-1)³=3n²-3n+1

各等式全相加

n³=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3(1+2+3+4+…+n)+n

=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3n(n+1)/2+n

=3×(1²+2²+3²+…+n²)-n(3n+1)/2

故1²+2²+3²+…+n²=[n³+n(3n+1)/2]/3=n(n+1)(2n+1)/6

第三，函数法

设f﹙n﹚=an³﹢bn²﹢cn﹢d

∴d=f﹙0﹚=0 a+b+c+d=f﹙1﹚=1 8a+4b+2c+d=f﹙2﹚=5 27a+9b+3c+d=f﹙3﹚=14

∴a=1/3 b=1/2 c=1/6 d=0

∴f﹙n﹚=﹙1／3﹚n³﹢﹙1／2﹚n²﹢﹙1／6﹚n=n(n+1)(2n+1)/6

设S=1^2+2^2+....+n^2(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1...