数轴两点之间距离公式推导

(一)数轴上两点之间的距离公式

在数轴上，如果点A对应的数是a，点B对应的数是b，则这两个点的距离公式为：

AB=a-b=b-a （差的绝对值）

在数轴上我们可以通过这个距离公式，利用绝对值来算点与点之间的距离。反过来看，这就是绝对值的几何意义(a-b代表点A与点B的距离，a代表点A到原点的距离)，我们也可以利用这个几何意义来解一些绝对值方程。

例题1：数轴上A，B两点的距离是15，点A表示的数是5-x，点B代表的数是5+x，则数x对应的点到原点的距离是多少。

根据距离公式，两点距离AB = 5+x-(5-x) = 2x = 15

所以x=7.5，即数x对应的点到原点的距离是7.5。(注意此处不用解出x的具体值，直接根据绝对值的几何意义就可以得出答案)

例题2：解方程x=15

根据x的几何意义，在数轴上表示与原点距离是5的点，易知有两个点15与-15。所以方程的解是x=15或x=-15。

例题3：解方程x-3=15

根据x-3的几何意义，在数轴上表示与点(3)距离是15的点，易知有两个点18与-12。所以方程的解是x=18或x=-12。

(二)数轴上两点的中点公式

中点表示的数值：(a+b)/2

简单证明:如图，设A>B，P点是AB的中点对应的数是x。

则PB的距离是x-b；则PA的距离是a-x；根据P是中点所以PB=PA。

即x-b=a-x 解得x=(a+b)/2

当A<B时，也可以得到x=(a+b)/2；A=B时也成立。所以无论a，b为何值这个中点公式都成立，非常方便(不用分情况讨论)。

我们还可以把它变形成：a + (b-a)/2

(a+b)/2=a/2 + b/2=a- a/2 + b/2=a + (b-a)/2

这个变形公式可以清晰的看出中点和A点（x与a）的关系。

还有其它一些变形，例如a+b=2x，a=2x-b等等也是经常用到。