罗尔中值定理典型例题

①若要证明 ,则考虑直接使用罗尔定理，无需构造辅助函数。

例：

设 (其中 均为常数)，证：方程 在 内至少有一个解。

思路：经过端点的带入尝试，你会发现无法直接找到函数的零点，因此我们选择求其原函数的两个零点，从而达到我们想要的效果。

解： 令 。

由罗尔定理可得： 即原方程至少存在一个解得证。

②若要证明 ,则考虑构造辅助函数 ,然后使用罗尔定理即可。

此方法可以用来证明拉格朗日中值定理，具体证明见中值定理基础篇。

③若要证明 或者 ,则考虑多次使用罗尔定理。

例1：

设 三阶可导， ,证明:

解:

由于 ,所以由罗尔定理可得： .

因此，可以得到 ，进行两次罗尔定理可得 。 最后，再对 使用一次罗尔定理可得 ，由此得证。

例2：

设 上三阶可导， ,证明:

思路：虽然这道题没有足够多的零点，但是函数是具体的，可以自行求导寻找零点和驻点。

解：由于 使用罗尔定理可得 。

由 可得： 对 使用罗尔定理可得 ,由此得证。

例3：

设 二阶可导， ,证明:

思路：要求二阶导为0，则需要三个 零点，题目已经给出两个，因此我们只需要从第三个条件中推出一个零点即可。

解：不妨假设，

又由于 在 上二阶可导， 由零点定理

到此，我们得到了三个零点，反复使用罗尔定理就可以得到所证结论。

例4：

设 在 上连续,且 证明： 在 内至少有两个零点。

常见的错误解法：直接使用积分中值定理

错解： ,从而由此得到 两个零点，但是实际上这是错误的，因为我们无法确定 与 是否相等。 正确解法：

思路：既然我们无法直接找到函数的两个零点，那么我们可以退而求其次的找其原函数的三个零点，从而达到我们想要的效果。 解：令 ,则 .

由于 再由积分中值定理得 。到此我们得到了三个零点，只需反复使用罗尔定理，就可以得到需证结论。